CONSTRUINDO GRÁFICOS DE OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Funções que repetem seus valores em intervalos regulares são descritas como periódicas. Uma função f é periódica se existir algum número k tal que f(x + k) = f(x) para todo x no domínio de f . O menor número positivo k é referido para o período de f . Qualquer parte do gráfico de uma função periódica que corresponde a um período é chamada de ciclo do gráfico.

Analisando o Gráfico da Função Tangente

Considere o gráfico da função tangente no intervalo .

y = tan(x) ;

> restart;

> with(plots):

> plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Sendo tan x = , a função tangente é indefinida quando cos x = 0 , e o gráfico da função tangente tem a intersecção em x quando sin x = 0 .

Onde estão posicionadas as assímptotas verticais para y = tan x no intervalo ?

R: x = onde n = - 2 , - 1, 0, 1 .

Quais são as intersecções em x para y = tan x no intervalo ?

R: , , 0 , .

O gráfico de y = tan x é simétrico em relação a que ?

R: A origem .

Quantas vezes no intervalo o gráfico da função tangente repete esse modelo?

R: 4 vezes

Preveja em qual intervalo de x os valores da função tangente repetem eles mesmos.

R: .

Considere o efeito dos diferentes valores de k no gráfico da função tangente.

= tan ( x + ) , = tan (x + ).

> restart;

> with(plots):

> y[1]:=tan(x+Pi);

> plot(y[1],x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

> y[2]:=tan(x+2*Pi);

> plot(y[2],x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Compare os gráficos de y = tan x , = tan (x + ) , e = tan (x + ) .

R: Eles são idênticos .

Baseado no efeito da constante positiva k no gráfico de y = tan (x + k) , qual conjectura pode ser feita em relação ao período da função tangente?

R: O período da função tangente é .

A função tangente é periódica com um período de . Para todo x no domínio, tan x = tan (x + ) .

Considere os gráficos de um trio de funções tangentes no intervalo .

= tan (x) : verde , = tan(2x) :vermelho , : azul .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green):

> b:=plot(tan(2*x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=red):

> c:=plot(tan(x/2),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=blue):

> display({a,b,c});

Identifique as assímptotas verticais no intervalo para e .

R: : x = , onde n = -2, -1 , 0 , 1 .

: x = e .

Onde está a intersecção em x posicionada no intervalo para e ?

R: : , , 0 , , .

: 0

Quantos ciclos estão completos no intervalo da extensão para , e ?

R: : 1 ; : 2 ; : .

Compare o número de ciclos completados no intervalo de extensão com coeficiete de x em y = tan ( ) .

R: O número de ciclos completados é igual ao coeficiente de x .

Qual é a extensão de um ciclo (período) de ? ?

R: : ; : .

Um ciclo de y = tan ( ) , b > 0 , é completado com bx que varia de 0 a . Se , entao n . A extensão do intervalo, , é o período de y = tan ( ).

O período da função tangente definida abaixo pode ser determinado algébricamente e confirmado graficamente.

> plot(tan((2/3)*x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi);

Qual é o período de ?

R: .

Basedo no gráfico de , qual é a extensão de um ciclo (período)?

R: .

Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo .

. = tan (x) : preto , = 2 tan(x) :vermelho , tan (x) : verde .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=black):

> b:=plot(2*tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=red):

> c:=plot((1/4)*tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green):

> display({a,b,c});

Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = .

R: a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a .

Por ser a função tangente sem limite, não existe amplitude para o seu gráfico .

Considere os gráficos da funções tangente = tan (x) (vermelho) , e = tan (-x) (azul) ,no intervalo .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=red):

> b:=plot(tan(-x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=blue):

> display({a,b});

Explique onde o gráfico de y = tan (x) tem o mesmo período do gráfico de y = tan (- x) .

R: Os períodos de y = tan x e y = tan ( - x) sao ambos .

Faça uma conjectura baseada na relação de y = tan (x) a y = tan (- x) .

R: y = tan ( -x) é o oposto de y = tan ( x) , i.e., tan ( -x) = - tan ( x)

Analisando Gráficos da Função Cotangente

Examine o gráfico da função cotangente no intervalo .

= cot(x) .

> plot(cot(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Sendo cot x = , a função cotangente é indefinida quando sin x = 0 , e o seu gráfico tem a intersecção em x quando .

Onde estão as assímptotas verticais de y = cot x posicionada no intervalo ?

R: x = , x = - , x = 0, x = , x =

Quais são as intersecções em x de y = cot x no intervalo ?

R: , , , .

O gráfico de y = cot x é simétrico com relação a que?

R: A origem

Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo ?

R: 4 vezes.

Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente se repetem.

R: .

Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [0, 2 ].

. = cot (x) : vermelho , = cot(2x) :verde , = cot preto .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(cot(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=red):

> b:=plot(cot(2*x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green):

> c:=plot(cot(x/2),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=black):

> display({a,b,c});

Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensao para e ?

R: : 2 ; : .

Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensao com o coeficiente de x em y = cot (bx) .

R: : ; : .

O período do gráfico da fução cotangente é o mesmo que o da função tangente e é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude.

Considere os gráficos das funções cotangentes = cot (x) : verde e = cot (- x) : azul , no intervalo [0, ].

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(cot(x),x=0..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=green):

> b:=plot(cot(-x),x=0..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=blue):

> display({a,b});

Explique onde o gráfico de = cot (x) tem o mesmo período como o gráfico de = cot (- x) .

R: O período é o mesmo e igual a .

Descreva como as duas curvas periódicas e são relatadas.

R: y = cot (-x) é o oposto de y = cot ( x) , i.e., cot (-x) = - cot ( x) .

Analisando o Gráfico da Função Secante

Por ser a função secante definida como a recíproca da função cosseno , i.e., sec x = , valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes.

Os gráficos de = cos (x) : preto e = sec (x) : vermelho são apresentados abaixo.

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> b:=plot(sec(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> display({a,b});

Onde estão as assímptotas verticais de = sec (x) posicionados no intervalo ?

R: x = , x = , x = , x = .

Explique a posição das assímptotas verticais de = s ec (x) no gráfico acima.

R: Onde a função cosseno é zero, a função secante tem assímptota vertical.

O gráfico de = sec (x) é simétrica em relação a que?

R: Ao eixo y .

Recorde que o domínio da função cosseno é ( ) e a extensão da funçao cosseno é [- 1, 1].

Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o :

a) domínio :( ) .

b) extensão : ( , -1 ] U [ 1, ) .

O gráfico da função secante não tem amplitude e nem intersecção em x .

Qual é o y interceptado de = sec (x) ?

R: 1 .

Descreva o comportamento de = sec (x) como crescente ou decrescente no intervalo específico:

a) [ 0 , ) .

R: crescente

b) ( , ) .

R: decrescente

c) [ , ) .

R: decrescente

d) ( , 2 ] .

R: decrescente

Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo x = .

= sec(x) : preto ; = sec(2x) : vermelho ; = sec : azul .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sec(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> b:=plot(sec(2*x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> c:=plot(sec((1/2)*x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=blue):

> display({a,b,c});

Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão para , , e ?

R: = 1 ; = 2 ; = .

Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = sec (bx) .

R: O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x .

Qual é a extensão de um ciclo (período) de e ?

R: : ; : 4 .

Um ciclo de y = sec (bx) , b > 0 , é completado com bx que varia de 0 a 2 . Se , então . A extensão do intervalo, , é o período de y = sec (bx) .

O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algébricamente e confirmada graficamente.

= sec ( x ) .

> plot(sec(Pi*x),x=0..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Qual é o período de ?

R: 2

Baseado no gráfico de , qual a extensão de um ciclo (período)?

R: 2

Considere no gráfico de = 3 sec (x) no intervalo .

> plot(3*sec(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Onde estão as assímptotas verticais de = 3 sec (x) posicionadas no intervalo ?

R: x = , x = , x = , x = .

Qual é o intersecção em y de = 3 sec (x) ?

R: 3

Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = no gráfico da função secante?

R: O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a .

Analisando o Gráfico da Função Cossecante

A função cossecante é definida como a recíproca da função secante, i.e., = , valores da função seno são recíprocas dos valores seno correspondentes.

Os gráficos de = sin (x) : preto e = csc (x) : vermelho são apresentados abaixo.

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> b:=plot(csc(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> display({a,b});

Onde estão as assímptotas verticais de = csc (x) posicionadas no intervalo ( ) ?

R: x = -2 , x = - , x = 0 , x = , x = 2 .

Explique a posição das assímptotas verticais de = csc (x) no gráfico acima .

R: Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assímptotas verticais.

O gráfico de = csc (x) é simétrico em relação a que?

R: A origem .

Lembre-se que o domínio da função seno é ( ) e a imagem da função seno é [- 1, 1].

Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever :

a) domínio : ( ) .

b) imagem : ( , -1] U [ 1 , ) .

O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecção em x .

Qual o ponto de intersecção em y de = csc (x) ?

R: Não há ponto de intersecção em y .

Descreva o comportamento de = csc (x) como crescente ou decrescente em um intervalo específico.

a) ( 0 , ]

R: decrescente.

b) [ , )

R: crescente

c) ( , ]

R: crescente

d) [ ,2 )

R: decrescente

Considere os gráficos do trio de funções cossecantes no intervalo ( ) .

= csc(x) : preto ; = csc(2x) : verde ; = csc : vermelho .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(csc(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> b:=plot(csc(2*x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=green):

> c:=plot(csc((1/2)*x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> display({a,b,c});

O período da função cossecante y = é o mesmo período da função seno:

Ex.: período = .

Qual é o período de , e ?

R: : 2 ; = ; = 4 .

Considere o gráfico de = csc (x) no intervalo ( ).

> plot(csc((1/2)*x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Onde estão as assímptotas verticais de = csc (x) localizadas no intervalo ( )?

R: x = -2 , x = - , x = 0 , x = , x = 2 .

Qual o ponto de intersecção em y de = csc(x) ?

R: Não há ponto de intersecção em y .

Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = no gráfico da função cossecante?

R: O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a .

Aprofundando Seus Conhecimentos

Explique se as funções são pares, ímpares ou nehuma das duas.

a) y = tan (x)

R: y = tan (x) é uma funçao ímpar, pois tan (- x) = - tan (x) .

b) y = cot (x)

R: y = cot (x) é uma funçao ímpar, pois cot ( - x) = - cot (x) .

c) y = sec (x)

R: y = sec (x) é uma funçao par, pois sec ( - x) = sec (x)

> y[32]:=sec(-x);

> plot(sec(-x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

> y[33]:=sec(x);

> plot(sec(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

d) y = csc (x)

R: y = csc (x) é uma funçao ímpar, pois csc ( - x) = - csc (x)

> y[34]:=csc(-x);

> plot(csc(-x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

> y[35]:=csc(x);

> plot(csc(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo.

e) y = tan (x)

R: y = | tan (x) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x .

f) y = sec (x)

R: y = | sec (x) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x .

g) y = cot (x)

R: Para obter o gráfico de y = - cot(x) , reflita o gráfico de y = cot (x) acima do eixo x .

h) y = csc (x)

R: Para obter o gráfico de y = -csc(x) , reflita o gráfico de y = csc(x) acima do eixo x .

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